Oblicz $\displaystyle \color{Cyan} z^{12} $

Zadanie polega na przedstawieniu liczby $\displaystyle \color{Cyan} \Big(2 + 2\sqrt{3}i\Big)^{12}$ w wygodnej i zwartej formie.
Oczywiście ręczne rozwijanie potęgi w tym przypadku zupełnie nie wchodzi w grę - byłoby czasochłonne i podatne na błędy rachunkowe. Potrzebujemy więc sprytnego sposobu, który pozwoli szybko i bezpiecznie obliczyć tak dużą potęgę.

Wykonamy to zadanie na dwa, bardzo podobne sposoby.

---

Sprowadzenie do postaci trygonometrycznej Każdą liczbę zespoloną $\color{Cyan} z $ można przedstawić na trzy podstawowe sposoby: \begin{align*}\color{Cyan} z \;&\color{Cyan}= a+bi \\\\\color{#4422ee} z \;&\color{#4422ee}= |z|\Big(\cos(\theta) + i\sin(\theta)\Big) \\\\\color{#aa00ee} z \;&\color{#aa00ee}= |z|e^{\theta i} \end{align*} gdzie $\color{#4422ee}\theta$ to kąt między osią rzeczywistą a promieniem prowadzącym do liczby $\color{#4422ee}z$, a $\color{#4422ee}|z|$ jest modułem liczby $\color{#4422ee}z$.
Skorzystamy z postaci trygonometrycznej (środkowego zapisu). Zacznijmy od wyznaczenia modułu liczby $\color{#4422ee}z$: \begin{align*}\color{#4422ee} |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16} = 4 \end{align*} Aby wyznaczyć kąt $\color{#4422ee}\theta$, najlepiej posłużyć się płaszczyzną zespoloną i zaznaczyć na niej liczbę $\color{#4422ee}z$. Wystarczy ustalić, w której ćwiartce układu współrzędnych się ona znajduje. W naszym przypadku $\color{#4422ee}z = 2 + 2\sqrt{3}i$ odpowiada punktowi $\color{#4422ee}(2, 2\sqrt{3})$, a więc leży w pierwszej ćwiartce:

Powyższa wizualizacja dobrze ilustruje sens postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. Część rzeczywista i urojona są przesunięciami punktu na odpowiednich osiach względem początku układu, co bezpośrednio wiąże się z wartościami funkcji trygonometrycznych — tak jak widać powyżej.

Możemy napisać: \begin{align*}\color{#4422ee} |z|\cos(\theta) \;&\color{#4422ee}= 2\\\color{#4422ee} |z|\sin(\theta) \;&\color{#4422ee}= 2\sqrt{3}\\\\ |z| = 4 &\textrm{ więc} \;\\\\\color{#4422ee} \cos(\theta) \;&\color{#4422ee}= \frac{1}{2}\\\color{#4422ee} \sin(\theta) \;&\color{#4422ee}= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*} Obliczenie kąta $\color{#4422ee} \theta $ to już tylko formalność. Zajrzyj do tabelki wartości funkcji trygonometrycznychi dopasuj odpowiedni kąt.
$\color{#4422ee} \theta = \frac{\pi}{3}$, więc: \begin{gather*}\color{#4422ee} z = 4\Big(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\Big) \end{gather*} Dzięki sprowadzeniu liczby zespolonej do tej formy, możemy użyć wzoru de Moivre'a: \begin{gather*}\color{Cyan}\large z^n = |z|^n\Big(\cos\left(n\theta\right) + i\sin\left(n\theta\right)\Big)\\\\\color{#4422ee}\normalsize z^{12} = 4^{12}\Big(\cos\left(12 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(12 \cdot \frac{\pi}{3}\right)\Big) = \\\\\color{#4422ee} = 4^{12}\Big(\cos\left(4\pi\right) + i\sin\left(4\pi\right)\Big) \end{gather*} Na koniec spróbujmy nieco uprościć to wyrażenie. Widzimy, że argumentem funkcji $\color{#4422ee} \sin$ i $\color{#4422ee} \cos$ jest wielokrotność liczby $\color{#4422ee} 2\pi$. W oparciu o okresowość funkcji trygonometrycznych możemy napisać: \begin{gather*}\color{#4422ee} z^{12} = 4^{12}\Big(\cos\left(4\pi\right) + i\sin\left(4\pi\right)\Big) = 4^{12}\Big(\cos(0) + i\sin(0)\Big) = 4^{12}\Big(1 + i\cdot 0\Big) = \color{#00dd66}4^{12} \end{gather*}

---

Sprowadzenie do postaci wykładniczej Jeśli wykonałeś/aś to zadanie poprzednim sposobem, większość pracy masz już za sobą. W postaci wykładniczej bowiem korzystamy dokładnie z tych samych parametrów, co w postaci trygonometrycznej — czyli z modułu $\color{#aa00ee}|z|$ oraz kąta $\color{#aa00ee}\theta$: \begin{align*}\color{#aa00ee}\large z \;= |z|e^{\theta i} \end{align*} Korzystając z danych z poprzedniej metody mamy: \begin{align*}\color{#aa00ee} z \;= 4e^{\frac{\pi}{3} i} \end{align*} Podniesienie takiej liczby do potęgi to już czysta formalność — operacja sprowadza się do zastosowania prostego prawa potęgowego, które bez problemu mieści się w zakresie szkoły podstawowej: \begin{align*}\color{#aa00ee} z^{12} \;= \Big(4e^{\frac{\pi}{3} i}\Big)^{12} = 4^{12}e^{12 \cdot \frac{\pi}{3} i} = 4^{12}e^{4\pi i} \end{align*} Zachodzi równość: \begin{gather*}\color{#aa00ee} e^{2k\pi i} = 1\\\color{#aa00ee} k \in \mathbb{Z} \\\\ \textrm{więc:}\\\\\color{#aa00ee} 4^{12}e^{4\pi i} = \color{#00dd66}4^{12} \end{gather*} Jeśli jednak nie pamiętasz tej tożsamości albo wynikowa liczba nie przyjmuje eleganckiej postaci (np. wygląda tak: $z^{12} = 2^{12}e^{\frac{13\pi}{6}i}$), najprościej będzie sprowadzić ją do postaci trygonometrycznej i sprawdzić, czy da się ją nieco uprościć.
Niemniej, jeśli nie pamiętasz wzoru de Moivre'a, warto sprowadzić liczbę zespoloną do postaci wykładniczej, obliczyć potęgę, a na końcu ewentualnie zmienić formę na trygonometryczną.