Oblicz $\displaystyle \color{Cyan} z^{18} $

Zadanie polega na przedstawieniu liczby $\displaystyle \color{Cyan} \Bigg(\frac{7\sqrt{3}}{2} + \frac{7}{2}i\Bigg)^{18}$ w wygodnej i zwartej formie.
Oczywiście ręczne rozwijanie potęgi w tym przypadku zupełnie nie wchodzi w grę - byłoby czasochłonne i podatne na błędy rachunkowe. Potrzebujemy więc sprytnego sposobu, który pozwoli szybko i bezpiecznie obliczyć tak dużą potęgę.

Wykonamy to zadanie na dwa, bardzo podobne sposoby.

---

Sprowadzenie do postaci trygonometrycznej Każdą liczbę zespoloną $\color{Cyan} z $ można przedstawić na trzy podstawowe sposoby: \begin{align*}\color{Cyan} z \;&\color{Cyan}= a+bi \\\\\color{#4422ee} z \;&\color{#4422ee}= |z|\Big(\cos(\theta) + i\sin(\theta)\Big) \\\\\color{#aa00ee} z \;&\color{#aa00ee}= |z|e^{\theta i} \end{align*} gdzie $\color{#4422ee}\theta$ to kąt między osią rzeczywistą a promieniem prowadzącym do liczby $\color{#4422ee}z$, a $\color{#4422ee}|z|$ jest modułem liczby $\color{#4422ee}z$.
Skorzystamy z postaci trygonometrycznej (środkowego zapisu). Zacznijmy od wyznaczenia modułu liczby $\color{#4422ee}z$: \begin{align*}\color{#4422ee} |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\left(\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2} = \sqrt{49} = 7 \end{align*} Aby wyznaczyć kąt $\color{#4422ee}\theta$, najlepiej posłużyć się płaszczyzną zespoloną i zaznaczyć na niej liczbę $\color{#4422ee}z$. Wystarczy ustalić, w której ćwiartce układu współrzędnych się ona znajduje. W naszym przypadku $\color{#4422ee}z = \frac{7\sqrt{3}}{2} + \frac{7}{2}i$ odpowiada punktowi $\color{#4422ee}\left(\frac{7\sqrt{3}}{2}, \frac{7}{2}\right)$, a więc leży w pierwszej ćwiartce:

Powyższa wizualizacja dobrze ilustruje sens postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. Część rzeczywista i urojona są przesunięciami punktu na odpowiednich osiach względem początku układu, co bezpośrednio wiąże się z wartościami funkcji trygonometrycznych — tak jak widać powyżej.

Możemy napisać: \begin{align*}\color{#4422ee} |z|\cos(\theta) \;&\color{#4422ee}= \frac{7\sqrt{3}}{2}\\\color{#4422ee} |z|\sin(\theta) \;&\color{#4422ee}= \frac{7}{2}\\\\ |z| = 7 &\textrm{ więc} \;\\\\\color{#4422ee} \cos(\theta) \;&\color{#4422ee}= \frac{\sqrt{3}}{2}\\\color{#4422ee} \sin(\theta) \;&\color{#4422ee}= \frac{1}{2} \end{align*} Obliczenie kąta $\color{#4422ee} \theta $ to już tylko formalność. Zajrzyj do tabelki wartości funkcji trygonometrycznych i dopasuj odpowiedni kąt.
$\color{#4422ee} \theta = \frac{\pi}{6}$, więc: \begin{gather*}\color{#4422ee} z = 7\Big(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\Big) \end{gather*} Dzięki sprowadzeniu liczby zespolonej do tej formy, możemy użyć wzoru de Moivre'a: \begin{gather*}\color{Cyan}\large z^n = |z|^n\Big(\cos\left(n\theta\right) + i\sin\left(n\theta\right)\Big)\\\\\color{#4422ee}\normalsize z^{18} = 7^{18}\Big(\cos\left(18 \cdot \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(18 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\Big) = \\\\\color{#4422ee} = 7^{18}\Big(\cos\left(3\pi\right) + i\sin\left(3\pi\right)\Big) \end{gather*} Na koniec spróbujmy nieco uprościć to wyrażenie. Okresowość funkcji $\color{#4422ee} \sin$ i $\color{#4422ee} \cos$ pozwala nam dodawać lub odejmować od argumentu tych funkcji dowolne wielokrotności liczby $\color{#4422ee} 2\pi$ - wynik i tak się nie zmieni. Możemy zatem napisać: \begin{gather*}\color{#4422ee} z^{18} = 7^{18}\Big(\cos\left(3\pi\right) + i\sin\left(3\pi\right)\Big) = 7^{18}\Big(\cos(\pi) + i\sin(\pi)\Big) = 7^{18}\Big(-1 + i\cdot 0\Big) = \color{#00dd66}-7^{18} \end{gather*}

---

Sprowadzenie do postaci wykładniczej Jeśli wykonałeś/aś to zadanie poprzednim sposobem, większość pracy masz już za sobą. W postaci wykładniczej bowiem korzystamy dokładnie z tych samych parametrów, co w postaci trygonometrycznej — czyli z modułu $\color{#aa00ee}|z|$ oraz kąta $\color{#aa00ee}\theta$: \begin{align*}\color{#aa00ee}\large z \;= |z|e^{\theta i} \end{align*} Korzystając z danych z poprzedniej metody mamy: \begin{align*}\color{#aa00ee} z \;= 7e^{\frac{\pi}{6} i} \end{align*} Podniesienie takiej liczby do potęgi to już czysta formalność — operacja sprowadza się do zastosowania prostego prawa potęgowego, które bez problemu mieści się w zakresie szkoły podstawowej: \begin{align*}\color{#aa00ee} z^{18} \;= \Big(7e^{\frac{\pi}{6} i}\Big)^{18} = 7^{18}e^{18 \cdot \frac{\pi}{6} i} = 7^{18}e^{3\pi i} \end{align*} Funkcja $e^{ix}$ jest okresowa podobnie jak $\sin(x)$ i $\cos(x)$, a jej okres jest równy $2\pi$. Możemy w takim razie dodawać lub odejmować od argumentu dowolną wielokrotność liczby $2\pi$, a wynik i tak się nie zmieni: \begin{align*}\color{#aa00ee} z^{18} \;= 7^{18}e^{3\pi i} = 7^{18}e^{\pi i} \end{align*} Korzystając z tożsamości Eulera (nazywanej najpiękniejszym wzorem w matematyce), możemy podać wynik: \begin{gather*}\color{Cyan}\large e^{i\pi} + 1 = 0 \\\\\normalsize\color{#aa00ee} e^{i\pi} = -1\\\\\color{#aa00ee} z^{18} \;= 7^{18}e^{\pi i} = \color{#00dd66}-7^{18} \end{gather*} Jeśli jednak nie znasz lub nie pamiętasz tej tożsamości, najlepiej sprowadzić tę liczbę do postaci trygonometrycznej: \begin{gather*}\color{Cyan}\large e^{\theta i} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \\\\\normalsize \color{#aa00ee} z^{18} \;= 7^{18}e^{\pi i} = 7^{18}\Big(\cos(\pi) + i\sin(\pi)\Big) = \\\\\color{#aa00ee} = 7^{18}\Big(-1 + i\cdot 0\Big) = \color{#00dd66}-7^{18} \end{gather*} Ten sposób może się wydawać drogą na około, bo czasami konieczne może się okazać sprowadzenie liczby do postaci trygonometrycznej (np. kiedy liczba zespolona wygląda tak: $z^{18} = 2^{18}e^{\frac{13\pi}{6}i}$). Niemniej, jeśli nie pamiętasz wzoru de Moivre'a, warto sprowadzić liczbę zespoloną do postaci wykładniczej, obliczyć potęgę, a na końcu ewentualnie zmienić formę na trygonometryczną w celu uproszczenia wyniku.