Oblicz $\displaystyle \color{Cyan} z^{36} $

Zadanie polega na przedstawieniu liczby $\displaystyle \color{Cyan} \Bigg(-\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4}i\Bigg)^{36}$ w wygodnej i zwartej formie.
Oczywiście ręczne rozwijanie potęgi w tym przypadku zupełnie nie wchodzi w grę - byłoby czasochłonne i podatne na błędy rachunkowe. Potrzebujemy więc sprytnego sposobu, który pozwoli szybko i bezpiecznie obliczyć tak dużą potęgę.

Wykonamy to zadanie na dwa, bardzo podobne sposoby.

---

Sprowadzenie do postaci trygonometrycznej Każdą liczbę zespoloną $\color{Cyan} z $ można przedstawić na trzy podstawowe sposoby: \begin{align*}\color{Cyan} z \;&\color{Cyan}= a+bi \\\\\color{#4422ee} z \;&\color{#4422ee}= |z|\Big(\cos(\theta) + i\sin(\theta)\Big) \\\\\color{#aa00ee} z \;&\color{#aa00ee}= |z|e^{\theta i} \end{align*} gdzie $\color{#4422ee}\theta$ to kąt między osią rzeczywistą a promieniem prowadzącym do liczby $\color{#4422ee}z$, a $\color{#4422ee}|z|$ jest modułem liczby $\color{#4422ee}z$.
Skorzystamy z postaci trygonometrycznej (środkowego zapisu). Zacznijmy od wyznaczenia modułu liczby $\color{#4422ee}z$: \begin{align*}\color{#4422ee} |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \end{align*} Aby wyznaczyć kąt $\color{#4422ee}\theta$, najlepiej posłużyć się płaszczyzną zespoloną i zaznaczyć na niej liczbę $\color{#4422ee}z$. Wystarczy ustalić, w której ćwiartce układu współrzędnych się ona znajduje. W naszym przypadku $\color{#4422ee}z = -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4}i$ odpowiada punktowi $\color{#4422ee}\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}\right)$, a więc leży w drugiej ćwiartce:

Powyższa wizualizacja dobrze ilustruje sens postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. Część rzeczywista i urojona są przesunięciami punktu na odpowiednich osiach względem początku układu, co bezpośrednio wiąże się z wartościami funkcji trygonometrycznych — tak jak widać powyżej.

Możemy napisać: \begin{align*}\color{#4422ee} |z|\cos(\theta) \;&\color{#4422ee}= -\frac{\sqrt{3}}{4}\\\color{#4422ee} |z|\sin(\theta) \;&\color{#4422ee}= \frac{1}{4}\\\\ |z| = \frac{1}{2} &\textrm{ więc} \;\\\\\color{#4422ee} \cos(\theta) \;&\color{#4422ee}= -\frac{\sqrt{3}}{2}\\\color{#4422ee} \sin(\theta) \;&\color{#4422ee}= \frac{1}{2} \end{align*} Jeśli rozwiązywałeś/aś już równania trygonometryczne gdzie występował minus, nie powinno to stanowić dla Ciebie większego problemu. Istnieje kilka sposobów na obliczenie kąta $\color{#4422ee} \theta $, lecz ja posłużę się metodą wykorzystującą okrąg jednostkowy.
Na początek zignorujmy minusa, znajdującego się w równaniu z cosinusem - wrócimy do niego później: \begin{align*}\color{#4422ee} \cos(\theta_1) \;&\color{#4422ee}= \frac{\sqrt{3}}{2}\\\color{#4422ee} \sin(\theta_1) \;&\color{#4422ee}= \frac{1}{2} \end{align*} Korzystając z tabelki wartości funkcji trygonometrycznych dopasowujemy odpowiedni kąt. Będzie to w tym przypadku $\color{#4422ee} \theta_1 = \frac{\pi}{6} $.
Rysujemy okrąg jednostkowy z zaznaczonym kątem $\color{#4422ee} \theta_1 = \frac{\pi}{6}$:

Dowolny punkt leżący na okręgu jednostkowym ma współrzędne $\color{#4422ee} \big(\cos(\theta_1), \sin(\theta_1)\big)$, gdzie $\color{#4422ee} \theta_1$ jest kątem pomiędzy osią $X$ a promieniem prowadzącym do tego punktu. Powyższa wizualizacja dobrze pokazuje sens tej zależności.

Wróćmy teraz do znaku minus, którego wcześniej pominęliśmy. Znajduje się on przy cosinusie, co oznacza, że pierwsza współrzędna punktu zaznaczonego na układzie zmieni znak. Innymi słowy, pomarańczowy punkt (wraz z promieniem lub – jeśli wolisz – wektorem) odbije się względem osi $Y$:

Całe to rysowanie okręgów jednostkowych, zaznaczanie kątów i odbijanie względem osi $Y$ było tylko po to, aby zauważyć, że $\color{#4422ee} \theta = \pi - \theta_1 $. Wobec tego: $$ \color{#4422ee} \theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $$ Jeśli znajdowanie kąta $\color{#4422ee} \theta$ nie jest jeszcze dla Ciebie w pełni zrozumiałe, zachęcam do zapoznania się z zadaniem z równania trygonometrycznego.

W końcu możemy napisać naszą liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej: \begin{gather*}\color{#4422ee} z = \frac{1}{2}\Bigg(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\Bigg) \end{gather*} Dzięki sprowadzeniu liczby zespolonej do tej formy, możemy użyć wzoru de Moivre'a: \begin{gather*}\color{Cyan}\large z^n = |z|^n\Big(\cos\left(n\theta\right) + i\sin\left(n\theta\right)\Big)\\\\\color{#4422ee}\normalsize z^{36} = \left(\frac{1}{2}\right)^{36}\Big(\cos\left(36 \cdot \frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(36 \cdot \frac{5\pi}{6}\right)\Big) = \\\\\color{#4422ee} = 2^{-36}\Big(\cos\left(30\pi\right) + i\sin\left(30\pi\right)\Big) \end{gather*} Na koniec spróbujmy nieco uprościć to wyrażenie. Okresowość funkcji $\color{#4422ee} \sin$ i $\color{#4422ee} \cos$ pozwala nam dodawać lub odejmować od argumentu tych funkcji dowolne wielokrotności liczby $\color{#4422ee} 2\pi$ - wynik i tak się nie zmieni. Możemy zatem napisać: \begin{gather*}\color{#4422ee} z^{36} = 2^{-36}\Big(\cos\left(30\pi\right) + i\sin\left(30\pi\right)\Big) = 2^{-36}\Big(\cos\left(2\pi\cdot 15\right) + i\sin\left(2\pi\cdot 15\right)\Big) = \\\\\color{#4422ee} = 2^{-36}\Big(\cos(0) + i\sin(0)\Big) = 2^{-36}\Big(1 + i\cdot 0\Big) = \color{#00dd66}2^{-36} \end{gather*}

---

Sprowadzenie do postaci wykładniczej Jeśli wykonałeś/aś to zadanie poprzednim sposobem, większość pracy masz już za sobą. W postaci wykładniczej bowiem korzystamy dokładnie z tych samych parametrów, co w postaci trygonometrycznej — czyli z modułu $\color{#aa00ee}|z|$ oraz kąta $\color{#aa00ee}\theta$: \begin{align*}\color{#aa00ee}\large z \;= |z|e^{\theta i} \end{align*} Korzystając z danych z poprzedniej metody mamy: \begin{align*}\color{#aa00ee} z \;= \frac{1}{2}e^{\frac{5\pi}{6} i} \end{align*} Podniesienie takiej liczby do potęgi to już czysta formalność — operacja sprowadza się do zastosowania prostego prawa potęgowego, które bez problemu mieści się w zakresie szkoły podstawowej: \begin{align*}\color{#aa00ee} z^{36} \;= \Bigg(\frac{1}{2}e^{\frac{5\pi}{6} i}\Bigg)^{36} = 2^{-36}e^{36 \cdot \frac{5\pi}{6} i} = 2^{-36}e^{30\pi i} \end{align*} Funkcja $e^{ix}$ jest okresowa podobnie jak $\sin(x)$ i $\cos(x)$, a jej okres jest równy $2\pi$. Możemy w takim razie dodawać lub odejmować od argumentu dowolną wielokrotność liczby $2\pi$, a wynik i tak się nie zmieni: \begin{gather*}\color{#aa00ee} z^{36} \;= 2^{-36}e^{30\pi i} = 2^{-36}e^{2\pi \cdot 15 i} = 2^{-36}e^{0i} =\\\\\color{#aa00ee} =2^{-36} \cdot 1 = \color{#00dd66}2^{-36} \end{gather*} Czasami konieczne może się okazać sprowadzenie liczby do postaci trygonometrycznej (np. kiedy liczba zespolona wygląda tak: $z^{18} = 2^{18}e^{\frac{13\pi}{6}i}$). Niemniej, jeśli nie pamiętasz wzoru de Moivre'a, warto sprowadzić liczbę zespoloną do postaci wykładniczej, obliczyć potęgę, a na końcu ewentualnie zmienić formę na trygonometryczną w celu uproszczenia wyniku.