Oblicz $\color{Cyan} \sqrt[5]{z} $

Podzielę rozwiązanie na dwie części.
W pierwszej obliczymy pierwiastek piątego stopnia, korzystając z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej.
W drugiej natomiast spróbuję pokazać, skąd bierze się wzór, z którego korzystamy, oraz dlaczego liczba rozwiązań zawsze jest równa stopniowi pierwiastka.

---

Rozwiązanie Każdą liczbę zespoloną można przedstawić na dwa różne sposoby: \begin{align*}\color{Cyan} z \;&\color{Cyan}= a+bi \\\\\color{#4422ee} z \;&\color{#4422ee}= |z|\Big(\cos(\theta) + i\sin(\theta)\Big) \end{align*} gdzie $\color{#4422ee}\theta$ to kąt między osią rzeczywistą a promieniem prowadzącym do liczby $\color{#4422ee}z$, a $\color{#4422ee}|z|$ jest modułem liczby $\color{#4422ee}z$ (czyli długością promienia).

Sprowadźmy liczbę zespoloną z polecenia do postaci trygonometrycznej. Zacznijmy od obliczenia modułu $\color{#4422ee}|z|$: \begin{align*}\color{#4422ee} |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + \sqrt{3}^2} = \sqrt{4} = 2 \end{align*} Aby pokazać wyznaczanie kąta $\color{#4422ee}\theta$, posłużę się płaszczyzną zespoloną i zaznaczę na niej liczbę $\color{#4422ee}z$. Wystarczy ustalić, w której ćwiartce układu współrzędnych się ona znajduje. W naszym przypadku $\color{#4422ee}z = 1 + \sqrt{3}i$ odpowiada punktowi $\color{#4422ee}\left(1, \sqrt{3}\right)$, a więc leży w pierwszej ćwiartce:

Powyższa wizualizacja dobrze ilustruje sens postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. Część rzeczywista i urojona są przesunięciami punktu na odpowiednich osiach względem początku układu, co bezpośrednio wiąże się z wartościami funkcji trygonometrycznych — tak jak widać powyżej.

Możemy napisać: \begin{align*}\color{#4422ee} |z|\cos(\theta) \;&\color{#4422ee}= 1\\\color{#4422ee} |z|\sin(\theta) \;&\color{#4422ee}= \sqrt{3}\\\\ |z| = 2 &\textrm{ więc} \;\\\\\color{#4422ee} \cos(\theta) \;&\color{#4422ee}= \frac{1}{2}\\\color{#4422ee} \sin(\theta) \;&\color{#4422ee}= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*} Obliczenie kąta $\color{#4422ee} \theta $ to już tylko formalność. Zajrzyj do tabelki wartości funkcji trygonometrycznych i dopasuj odpowiedni kąt.
$\color{#4422ee} \theta = \frac{\pi}{3}$, więc: \begin{gather*}\color{#4422ee} z = 2\Big(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\Big) \end{gather*} Dzięki sprowadzeniu liczby zespolonej do tej formy, możemy użyć wzoru na pierwiastek dowolnego stopnia: \begin{gather*}\color{Cyan}\large \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\Bigg(\cos\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\Bigg)\\ \color{Cyan} k = 0, 1, ..., n-1 \\\\\\\color{#00dd66}\normalsize \sqrt[5]{z} = \sqrt[5]{2}\Bigg(\cos\left(\frac{\frac{\pi}{3} + 2\pi k}{5}\right) + i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{3} + 2\pi k}{5}\right)\Bigg)\\\color{#00dd66} k = 0, 1, ..., n-1 \end{gather*} Niestety obecne wyrażenie trudno uprościć, więc pozostawimy je w takiej formie. Oczywiście moglibyśmy podać pięć różnych wyników, podstawiając pod $\color{#4422ee}k$ kolejne liczby naturalne od $1$ do $4$, lecz odpowiedź w takiej postaci jest jak najbardziej poprawna.

---

Dlaczego to działa Jest jeszcze jeden sposób przedstawienia liczby zespolonej: \begin{align*}\color{#aa00ee} z \;&\color{#aa00ee}= |z|e^{\theta i} \end{align*} Jest to tzw. postać wykładnicza. Współczynniki, które w niej występują są dokładnie takie same jak w postaci trygonometrycznej - moduł $\color{#aa00ee}|z|$ oraz kąt $\color{#aa00ee}\theta$.

Korzystając z tej postaci udowodnimy, że pierwiastek z liczby zespolonej ma tyle rozwiązań jaki jest stopień pierwiastka, a na końcu sprowadzimy to do wzoru, z którego korzystaliśmy wcześniej.

Weźmy dowolną liczbę zespoloną $\displaystyle \color{#aa00ee} re^{i\theta}$. Wówczas: \begin{gather*}\color{#aa00ee} \sqrt[n]{re^{i\theta}} = w \\\\\color{#aa00ee} w^n = re^{i\theta} \end{gather*} $\displaystyle \color{#aa00ee}w$ jest liczbą zespoloną, więc możemy napisać: \begin{gather*}\color{#aa00ee} w = pe^{i\phi} \\\\\color{#aa00ee} w^n = p^n \left(e^{i\phi}\right)^n = p^ne^{i\phi n} \end{gather*} Otrzymujemy równanie: \begin{gather*}\color{#aa00ee} p^ne^{i\phi n} = re^{i\theta} \end{gather*} Sprowadzamy do układu równań: \begin{gather*}\color{#aa00ee} \begin{cases} {p^n} = {r} \\ {\phi n} = \theta + 2\pi k \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases} \end{gather*} Dlaczego dopisałem $\color{#aa00ee}2\pi k$? To dlatego, że funkcja $\color{#aa00ee}e^{ix}$ jest okresowa i jej wartości powtarzają się dokładnie co $\color{#aa00ee}2\pi$. Tym zapisem chciałem uwzględnić wszyskie możliwe kąty, dla których dwie liczby zespolone byłyby sobie równe.
Rozwiązując równania otrzymujemy: \begin{gather*}\color{#aa00ee} p = \sqrt[n]{r} \\\\\color{#aa00ee} \phi = \frac{\theta + 2\pi k}{n} \quad k \in \mathbb{Z} \end{gather*} A więc: \begin{gather*}\color{#aa00ee} \sqrt[n]{re^{i\theta}} = w = \sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\theta + 2\pi k}{n}i} \quad k \in \mathbb{Z} \end{gather*} Przyjmijmy, że $\color{#aa00ee}w_0$, $\color{#aa00ee}w_1$, $\color{#aa00ee}w_2$ itd. to kolejne rozwiązania naszego równania - różnią się jedynie stałą $\color{#aa00ee}k$, którą zwiększamy, aby uzyskać kolejne rozwiązania. Sprawdźmy jednak co się stanie jeśli weźniemy $\color{#aa00ee}w_{j+k}$, gdzie $\color{#aa00ee}j$ jest dowolną liczbą całkowitą: \begin{gather*}\color{#aa00ee}\large w_{j+n} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\theta + 2\pi (j+n)}{n}i} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\theta + 2\pi j + 2\pi n}{n}i} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\theta + 2\pi j}{n}i} \cdot e^{\frac{2\pi {\color{Red}\cancel{n}}}{{\color{Red}\cancel{n}}}i} \\\\ e^{i2\pi} = 1 \textrm{ więc:}\\\\\color{#aa00ee}\large w_{j+n} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\theta + 2\pi j}{n}i} = w_{j} \end{gather*} Widzimy, że rozwiązanie $\color{#aa00ee}w_{j+n}$ jest dokładnie tym samym rozwiązaniem, co $\color{#aa00ee}w_{j}$. Innymi słowy, rozwiązania powtarzają się dokładnie co $\color{#aa00ee}n$ - czyli co stopień pierwiastka. W takim razie możemy napisać bez straty ogólności, że aby uwzględnić każde rozwiązanie, wystarczy, że $\color{#aa00ee}k$ będzie liczbą od $0$ do $n-1$: \begin{gather*}\color{#00aa22} \sqrt[n]{re^{i\theta}} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\theta + 2\pi k}{n}i} \\\\ \color{#00aa22} k=0, 1, ..., n-1 \end{gather*} Oto gotowy wzór na pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej. Możemy go jeszcze przekształcić na formę trygonometryczną, wiedząc, że są one równoważne: \begin{gather*}\color{#00aa22} \sqrt[n]{re^{i\theta}} = \sqrt[n]{r} \Bigg(\cos\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\Bigg) \\\\ \color{#00aa22} k=0, 1, ..., n-1 \end{gather*}