Oblicz wartość średnią funkcji $\color{Cyan} f(x) $ w przedziale $\color{Cyan} [0, 2\pi] $

Wzór na wartość średnią funkcji $\color{#ff6600} f(x) $ w przedziale $\color{#ff6600} [a, b] $ zadana jest wzorem: \begin{gather*}\color{#ff6600}\large f(x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b}f(x)\, dx \end{gather*} Ja jednak nie polecam uczyć się go na pamięć. Lepiej jest zrozumieć ideę, która za nim stoi - a ta jest całkiem intuicyjna!

Zastanów się jak można policzyć wartość średnią poniższych słupków (mogą to być fizyczne pomiary, rozkład prawdopodobieństwa lub inne dowolne statystyki):

Sprawa wydaje się całkiem prosta. Dodajemy wszystkie wartości do siebie a na końcu dzielimy przez liczbę słupków: \begin{gather*}\color{#ff6600} W_{\textrm{średnia} } = \frac{0{,}82 + 1{,}8 + 0{,}35 -3 -4{,}7 -1{,}6 + 4{,}7}{7} \approx -0.233 \end{gather*} W przypadku funkcji jest trochę trudniej. Jest ona ciągła, więc posługujemy się całymi przedziałami. Zamysł jednak nadal pozostaje ten sam: sumujemy i dzielimy. Sumowanie to będzie nic innego jak liczenie pola powierzchni pod/nad krzywą, a dzielić będziemy przez długość naszego przedziału:

\begin{gather*}\color{Cyan} W_{\textrm{średnia} } = \frac{\int_{0}^{2\pi}x\sin(x)\, dx}{2\pi - 0} \end{gather*} Zacznijmy od policzenia całki nieoznaczonej. Wykorzystamy w tym celu metodę całkowania „przez części”: \begin{gather*}\color{Cyan} \int x\sin(x)\, dx = \int x\big(-\cos(x)\big)'\, dx = -x\cos(x) - \int -\cos(x)\, dx = \\\\\color{Cyan} = -x\cos(x) + \int \cos(x)\, dx = \color{#5500ff} -x\cos(x) + sin(x) + C \end{gather*} Teraz liczymy całkę oznaczoną: \begin{gather*}\color{#5500ff} \int_{0}^{2\pi}x\sin(x)\, dx = \bigg[ -x\cos(x) + \sin(x) \bigg]_0^{2\pi} = \\\\\color{#5500ff} -2\pi\cos(2\pi) + \sin(2\pi) - \bigg( -0\cdot\cos(0) + \sin(0) \bigg) = -2\pi \end{gather*} Pozostała tylko formalność - podzielenie przez $2\pi$: \begin{gather*}\color{#5500ff} W_{\textrm{średnia} } = \frac{-2\pi}{2\pi} = \color{#00dd66}-1 \end{gather*}