Wyznacz funkcję odwrotną do podanej

Wprowadzenie Na początek przypomnijmy sobie czym w ogóle jest funkcja odwrotna.
Jeśli dziedzinę funkcji $\color{Cyan}f$ oznaczymy jako zbiór $X$, a przeciwdziedzinę jako zbiór $Y$, możemy napisać: $$\color{Cyan} f: X \to Y $$ Czytamy to w taki sposób: „funkcja $f$ jest zdefiniowana na zbiorze $X$ i przyjmuje wartości ze zbioru $Y$.”
A funkcja odwrotna? Nic prostrzego: $$\color{#ff6600} f^{-1}: Y \to X $$ Jeśli więc $\color{Cyan} f(2) = 4$, to $\color{#ff6600} f^{-1}(4) = 2$.
Jeśli przedstawimy na jedym układzie współrzędnych pewną funkcję oraz funkcję do niej odwrotną, to... wykresy nałożą się na siebie. Cóż, w szkole/na studiach pewnie uczyli Cię inaczej — że funkcja odwrotna $\color{#ff6600} f^{-1}$ jest odbiciem funkcji $\color{Cyan} f$ względem prostej $\color{#88cc00} y=x$. Aby zrozumieć tę rozbieżność, weźmy przykładową funkcję i jej odwrotność: \begin{gather*}\color{Cyan} f: \mathbb{R} \to (0, \infty) \\\color{Cyan} y = 2^x \\\\\color{#ff6600} f^{-1}: (0, \infty) \to \mathbb{R} \\\color{#ff6600} x = \log_{2}{y} \end{gather*} $\color{Cyan} f$ przyjmuje argumenty ze zbioru liczb rzeczywistych, a zwraca wartości z przedziału $\color{Cyan} (0, \infty)$, natomiast $\color{#ff6600} f^{-1}$ robi dokładnie odwrotnie — przyjmuje argumenty z przedziału $\color{#ff6600} (0, \infty)$, a zwraca wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. To oznacza, że $\color{#ff6600} f^{-1}$ przyjmuje jako argumenty to, co dla $\color{Cyan} f$ było wartościami, i odwrotnie.

Przyjęło się jednak, aby funkcje odwrotne opisywać za pomocą argumentu $x$ — zamiast $\color{#ff6600} f^{-1}(y)$ będzie $\color{#ff6600} f^{-1}(x)$. To tylko zamiana nazwy zmiennej, ale dzięki temu zachowujemy standard — oś pozioma to zawsze argumenty, pionowa to wartości.
I właśnie wtedy wykres $\color{#ff6600} f^{-1}$ staje się odbiciem wykresu $\color{Cyan} f$ względem prostej $\color{#88cc00} y=x$. Nie dlatego, że tak „ma być”, ale dlatego, że każdemu punktowi $(x, y)$ na wykresie $\color{Cyan} f$ odpowiada punkt $(y, x)$ na wykresie $\color{#ff6600} f^{-1}$.

A tak wyglądają wyresy naszych funkcji $\color{Cyan} f(x)$ i $\color{#ff6600} f^{-1}(x)$:

---

Rozwiązanie Aby wyznaczyć funkcję odwrotną, wystarczy z podanego wzoru funkcji obliczyć $x$: \begin{gather*}\color{Cyan} y = \frac{3x+1}{2x-5} \\\\\color{Cyan} y(2x-5) = 3x+1 \\\\\color{Cyan} 2xy - 5y = 3x+1 \\\\\color{Cyan} 2xy - 3x = 5y + 1 \\\\\color{Cyan} x(2y - 3) = 5y + 1 \\\\\color{Cyan} x = \frac{5y + 1}{2y - 3} \color{#00dd66} \end{gather*} Na koniec przedstawmy tę funkcję w postaci $\color{#ff6600} f^{-1}(x)$: \begin{gather*}\color{#00dd66} f^{-1}(x) = \frac{5x + 1}{2x - 3} \end{gather*} A tak wyglądają wykresy naszych funkcji: