Wyznacz funkcję odwrotną do $\color{Cyan} f(x) $ w przedziale $\color{Cyan} \left[ -\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2} \right] $

Wprowadzenie Na początek przypomnijmy sobie czym w ogóle jest funkcja odwrotna.
Jeśli dziedzinę funkcji $\color{Cyan}f$ oznaczymy jako zbiór $X$, a przeciwdziedzinę jako zbiór $Y$, możemy napisać: $$\color{Cyan} f: X \to Y $$ Czytamy to w taki sposób: „funkcja $f$ jest zdefiniowana na zbiorze $X$ i przyjmuje wartości ze zbioru $Y$.”
A funkcja odwrotna? Nic prostrzego: $$\color{#ff6600} f^{-1}: Y \to X $$ Jeśli więc $\color{Cyan} f(2) = 4$, to $\color{#ff6600} f^{-1}(4) = 2$.
Jeśli przedstawimy na jedym układzie współrzędnych pewną funkcję oraz funkcję do niej odwrotną, to... wykresy nałożą się na siebie. Cóż, w szkole/na studiach pewnie uczyli Cię inaczej — że funkcja odwrotna $\color{#ff6600} f^{-1}$ jest odbiciem funkcji $\color{Cyan} f$ względem prostej $\color{#88cc00} y=x$. Aby zrozumieć tę rozbieżność, weźmy przykładową funkcję i jej odwrotność: \begin{gather*}\color{Cyan} f: \mathbb{R} \to (0, \infty) \\\color{Cyan} y = 2^x \\\\\color{#ff6600} f^{-1}: (0, \infty) \to \mathbb{R} \\\color{#ff6600} x = \log_{2}{y} \end{gather*} $\color{Cyan} f$ przyjmuje argumenty ze zbioru liczb rzeczywistych, a zwraca wartości z przedziału $\color{Cyan} (0, \infty)$, natomiast $\color{#ff6600} f^{-1}$ robi dokładnie odwrotnie — przyjmuje argumenty z przedziału $\color{#ff6600} (0, \infty)$, a zwraca wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. To oznacza, że $\color{#ff6600} f^{-1}$ przyjmuje jako argumenty to, co dla $\color{Cyan} f$ było wartościami, i odwrotnie.

Przyjęło się jednak, aby funkcje odwrotne opisywać za pomocą argumentu $x$ — zamiast $\color{#ff6600} f^{-1}(y)$ będzie $\color{#ff6600} f^{-1}(x)$. To tylko zamiana nazwy zmiennej, ale dzięki temu zachowujemy standard — oś pozioma to zawsze argumenty, pionowa to wartości.
I właśnie wtedy wykres $\color{#ff6600} f^{-1}$ staje się odbiciem wykresu $\color{Cyan} f$ względem prostej $\color{#88cc00} y=x$. Nie dlatego, że tak „ma być”, ale dlatego, że każdemu punktowi $(x, y)$ na wykresie $\color{Cyan} f$ odpowiada punkt $(y, x)$ na wykresie $\color{#ff6600} f^{-1}$.

A tak wyglądają wyresy naszych funcji $\color{Cyan} f(x)$ i $\color{#ff6600} f^{-1}(x)$:

---

Rozwiązanie Aby wyznaczyć funkcję odwrotną, wystarczy z podanego wzoru funkcji obliczyć $x$.
Funkcją odwrotną do tangensa jest $\color{Cyan} \arctg(x)$, lecz pojawia się problem: zbiór wartości tej funkcji jest przedziałem $\color{Cyan} \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] $. Innymi słowy, $\color{Cyan} \arctg(x)$ jest odwrotnością tylko jednego ramienia tangensa — tangensa z dziedziną ograniczoną do przedziału $\color{Cyan} \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] $.
Aby ten problem rozwiązać, należy przekształcić funkcję $\color{Cyan} \tg(x)$ tak, aby zbiór wartości $\color{Cyan} \arctg(x)$ przesunął się o $\color{Cyan} 2\pi$, ale sam wykres tangensa pozostał bez zmian: \begin{gather*}\color{Cyan} y = \frac{1}{2}\tg(x) = \frac{1}{2}\tg(x+2\pi) \end{gather*} Spójrz na poniższą wizualizację. Przesuń suwak w prawo, aby dodać do argumentu $x$ liczbę $2\pi$:

Fragment zaznaczony innym kolorem przedstawia tę część wykresu, którą odwracamy, stosując funkcję odwrotną $\color{Cyan} \arctg(x)$. Zauważ, że gdy przesuniemy wykres o $\color{Cyan}2\pi$ w lewo, ten właśnie fragment idealnie wpisze się w interesujący nas przedział.

Teraz możemy obliczyć funkcję odwrotną: \begin{gather*}\color{Cyan} y = \frac{1}{2}\tg(x+2\pi) \\\\\color{Cyan} 2y = \tg(x+2\pi) \\\\\color{Cyan} \arctg(2y) = x + 2\pi \\\\\color{Cyan} \arctg(2y) - 2\pi = x \\\\ \end{gather*} Na koniec przedstawmy tę funkcję w postaci $\color{#ff6600} f^{-1}(x)$: \begin{gather*}\color{#00dd66} f^{-1}(x) = \arctg(2x) - 2\pi \end{gather*} A tak wyglądają wykresy naszych funkcji:

Zaznaczony pogrubioną, niebieską linią fragment funkcji $\color{Cyan} \frac{1}{2}\tg(x)$ jest tym, co odbijamy względem prostej $\color{#88cc00} y=x$.