Oblicz granicę ciągu $\require{cancel}$

Podzielę to rozwiązanie na dwie części: w pierwszej wykonamy polecenie, a w drugiej udowodnię poprawność wzoru, z którego skorzystamy. Rozwiązanie Granica widniejąca w poleceniu wygląda bardzo podobnie do definicji liczby Eulera: \begin{gather*}\color{#ff6600} e = \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( 1 + \frac{1}{n} \bigg)^{n} \end{gather*} oraz do ogólniejszego wzoru opisującego potęgi tej liczby: \begin{gather*}\color{#ff6600} e^k = \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg)^{a_n}\\\\ \textrm{gdzie:} \;\;\; \lim_{{n} \to {\infty}} a_n = \pm \infty \end{gather*} I właśnie z tej zależności skorzystamy w naszym rozwiązaniu.

Problemem, który się pojawia jest to, że zaznaczone poniżej na czerwono fragmenty nie są identyczne: \begin{gather*}\color{Cyan} \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( 1 - \frac{7}{\color{Red}\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}} \bigg)^{\color{Red}2n^2+1} \end{gather*} Łatwo możemy jednak dokonać przekształceń, które doprowadzą wyrażenie w wykładniku do rządanej postaci. W tym celu podniesiemy całość do potęgi $\color{Cyan}\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}$, a następnie do potęgi $\color{Cyan}\frac{1}{\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}}$. Nie zmieni to wartości granicy, ponieważ wykładniki te są wzajemnie odwrotne: \begin{gather*}\color{Cyan} \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( 1 - \frac{7}{\color{Red}\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}} \bigg)^{\color{Red}2n^2+1} \;\;=\;\; \Bigg( \Bigg( \bigg( 1 - \frac{7}{\color{Red}\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}} \bigg)^{\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}}\Bigg)^\frac{1}{\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}}\Bigg)^{\color{Red}2n^2+1} = \\\\\color{Cyan} = \Bigg( \bigg( 1 - \frac{7}{\color{Red}\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}} \bigg)^{\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}}\Bigg)^{\frac{1}{\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}}\cdot {\color{Red}2n^2+1}} \;\;=\;\; \Bigg( \bigg( 1 - \frac{7}{\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}} \bigg)^{\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}}\Bigg)^{\frac{2n^2+1}{\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}}} \end{gather*} Granicę tę można łatwo policzyć wiedząc, że: \begin{gather*}\color{#ff6600} \large \lim_{{n} \to {\infty}} {a_n}^{b_n} = \bigg(\lim_{{n} \to {\infty}} {a_n}\bigg)^{\left(\displaystyle \small\lim_{{n} \to {\infty}}b_n\right)} \end{gather*} Innymi słowy, Możemy osobno policzyć granicę podstawy i wykładnika: \begin{gather*}\color{Cyan}\normalsize \color{#aa00ff}\Bigg(\color{Cyan} \bigg( 1 - \frac{7}{\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}} \bigg)^{\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}}\color{#aa00ff}\Bigg)^{\frac{2n^2+1}{\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}}} \\\\\color{Cyan} \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( 1 + \frac{-7}{\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}} \bigg)^{\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}} = e^{-7}\\\\\color{#aa00ff} \lim_{{n} \to {\infty}} \frac{2n^2+1}{\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}} = \lim_{{n} \to {\infty}} \frac{ {\color{Red}\cancel{\color{#aa00ff}n^2}} \left( 2+{\color{Red}\cancelto{0}{\color{#aa00ff}\frac{1}{n^2}}} \right) }{ {\color{Red}\cancel{\color{#aa00ff}n^2}} \left( \sqrt{2}-{\color{Red}\cancelto{0}{\color{#aa00ff}\frac{\sqrt{3}}{n^2}}} \right) } = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \\\\\\\color{Cyan} \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( 1 - \frac{7}{\sqrt{2}n^2-\sqrt{3}} \bigg)^{2n^2+1} = \left(e^{-7}\right)^{\color{#aa00ff}\sqrt{2}} \;=\; \color{#00dd66} e^{-7\sqrt{2}} \end{gather*}

---

Dowód Udowodnimy następujący wzór: \begin{gather*}\color{#ff6600} e^k = \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg)^{a_n}\\\\ \textrm{gdzie:} \;\;\; \lim_{{n} \to {\infty}} a_n = \pm \infty \end{gather*} Przy czym uznamy, iż $\displaystyle \;\color{#ff6600}e = \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( 1 + \frac{1}{n} \bigg)^{n}\;$ jest definicją liczby Eulera.

Najpierw policzymy granicę z logarytmu naturalnego (logarytm o podstawie liczby Eulera) z głównego wyrażenia: \begin{gather*}\color{Cyan} \lim_{{n} \to {\infty}} \ln\Bigg({\color{#ff6600}\bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg)^{a_n}}\Bigg) \end{gather*} Przekształcamy to wyrażenie: \begin{gather*}\color{Cyan} \lim_{{n} \to {\infty}} \ln\Bigg(\bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg)^{a_n}\Bigg) \;=\; \lim_{{n} \to {\infty}} a_n\ln\bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg) \;=\; \lim_{{n} \to {\infty}} \frac{\ln\bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg)}{\frac{k}{a_n}}\cdot k \end{gather*} Wiemy, że $\color{#aa00ff} a_n \to \pm \infty\;$, więc $\color{#aa00ff} \;\frac{k}{a_n} \to 0\;$. Podstawiając $\color{#aa00ff} t_n=\frac{k}{a_n}$ możemy napisać: \begin{gather*}\color{#aa00ff} t_n \to 0 \\\\\color{Cyan} \lim_{{n} \to {\infty}} \frac{\ln\bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg)}{\frac{k}{a_n}}\cdot k \;=\;\color{#aa00ff} \lim_{{n} \to {\infty}} \frac{\ln(1 + t_n)}{t_n} \cdot k \end{gather*} To nam pozwala przejść na granice funkcji: \begin{gather*}\color{#aa00ff} \lim_{{t} \to {0}} \frac{\ln(1 + t)}{t} \cdot k \;=\; k \cdot \lim_{{t} \to {0}} \frac{\ln(1 + t)}{t} \;=\; k\cdot\left[\frac{0}{0}\right] \;\overset{H}{=}\; k \cdot \lim_{{t} \to {0}} \frac{\frac{1}{1+t}}{1} \;=\; \color{Cyan}k \end{gather*} Uwaga: $\;\small \overset{H}{=}\normalsize$ oznacza zastosowanie regułu de l'Hospitala — policzenie pochodnej licznika i mianownika.
Więc: \begin{gather*}\color{Cyan} \lim_{{n} \to {\infty}} \ln\Bigg(\bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg)^{a_n}\Bigg) = k \end{gather*} Skoro granica z logarytmu naturalnego wynosi $k$, to granica z wyrażenia pod logarytmem musi dążyć do $e^k$: \begin{gather*}\color{#ff6600} \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg)^{a_n}=\; e^k\\\\ \blacksquare \end{gather*}