Oblicz granicę ciągu $\require{cancel}$

Podzielę to rozwiązanie na dwie części: w pierwszej wykonamy polecenie, a w drugiej udowodnię poprawność wzoru, z którego skorzystamy. Rozwiązanie Wykładnik, który dąży do nieskończoności sugeruje, że ta granica ma coś wspólnego z definicją liczby Eulera. Dokonajmy kilku przekształceń: \begin{gather*}\color{Cyan} \bigg( \frac{12n+6}{12n+3} \bigg)^{8n} = \bigg( \frac{{\color{#aa00ff}12n+3}+3}{\color{#aa00ff}12n+3} \bigg)^{8n} = \bigg( 1 + \frac{3}{12n+3} \bigg)^{8n} \end{gather*} Teraz wyraźnie widać, że wyrażenie to wygląda bardzo podobnie do definicji liczby Eulera: \begin{gather*}\color{#ff6600} e = \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( 1 + \frac{1}{n} \bigg)^{n} \end{gather*} oraz do ogólniejszego wzoru opisującego potęgi tej liczby: \begin{gather*}\color{#ff6600} e^k = \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg)^{a_n}\\\\ \textrm{gdzie:} \;\;\; \lim_{{n} \to {\infty}} a_n = \pm \infty \end{gather*} I właśnie z tej zależności skorzystamy w naszym rozwiązaniu.

Problemem, który się pojawia jest to, że zaznaczone poniżej na czerwono fragmenty nie są identyczne: \begin{gather*}\color{Cyan} \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( 1 + \frac{3}{\color{Red}12n+3} \bigg)^{\color{Red}8n} \end{gather*} Łatwo możemy jednak dokonać przekształceń, które doprowadzą wyrażenie w wykładniku do rządanej postaci. W tym celu podniesiemy całość do potęgi $\color{Cyan}12n+3$, a następnie do potęgi $\color{Cyan}\frac{1}{12n+3}$. Nie zmieni to wartości granicy, ponieważ wykładniki te są wzajemnie odwrotne: \begin{gather*}\color{Cyan} \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( 1 + \frac{3}{\color{Red}12n+3} \bigg)^{\color{Red}8n} \;\;=\;\; \Bigg( \Bigg( \bigg( 1 + \frac{3}{\color{Red}12n+3} \bigg)^{12n+3}\Bigg)^{\frac{1}{12n+3}}\Bigg)^{\color{Red}8n} = \\\\\color{Cyan} = \Bigg( \bigg( 1 + \frac{3}{\color{Red}12n+3} \bigg)^{12n+3}\Bigg)^{\frac{1}{12n+3}\cdot {\color{Red}8n}} \;\;=\;\; \Bigg( \bigg( 1 + \frac{3}{12n+3} \bigg)^{12n+3}\Bigg)^{\frac{8n}{12n+3}} \end{gather*} Granicę tę można łatwo policzyć wiedząc, że: \begin{gather*}\color{#ff6600} \large \lim_{{n} \to {\infty}} {a_n}^{b_n} = \bigg(\lim_{{n} \to {\infty}} {a_n}\bigg)^{\left(\displaystyle \small\lim_{{n} \to {\infty}}b_n\right)} \end{gather*} Innymi słowy, Możemy osobno policzyć granicę podstawy i wykładnika: \begin{gather*}\color{Cyan}\normalsize \color{#aa00ff}\Bigg(\color{Cyan} \bigg( 1 + \frac{3}{12n+3} \bigg)^{12n+3}\color{#aa00ff}\Bigg)^{\frac{8n}{12n+3}} \\\\\color{Cyan} \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( 1 + \frac{3}{12n+3} \bigg)^{12n+3} = e^{3}\\\\\color{#aa00ff} \lim_{{n} \to {\infty}} \frac{8n}{12n+3} = \lim_{{n} \to {\infty}} \frac{ 8{\color{Red}\cancel{\color{#aa00ff}n}} }{ {\color{Red}\cancel{\color{#aa00ff}n}} \left( 12+{\color{Red}\cancelto{0}{\color{#aa00ff}\frac{3}{n}}} \right) } = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\\\\\\\color{Cyan} \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( \frac{12n+6}{12n+3} \bigg)^{8n} = \left(e^{3}\right)^{\color{#aa00ff}\frac{2}{3}} \;=\; \color{#00dd66} e^{2} \end{gather*}

---

Dowód Udowodnimy następujący wzór: \begin{gather*}\color{#ff6600} e^k = \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg)^{a_n}\\\\ \textrm{gdzie:} \;\;\; \lim_{{n} \to {\infty}} a_n = \pm \infty \end{gather*} Przy czym uznamy, iż $\displaystyle \;\color{#ff6600}e = \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( 1 + \frac{1}{n} \bigg)^{n}\;$ jest definicją liczby Eulera.

Najpierw policzymy granicę z logarytmu naturalnego (logarytm o podstawie liczby Eulera) z głównego wyrażenia: \begin{gather*}\color{Cyan} \lim_{{n} \to {\infty}} \ln\Bigg({\color{#ff6600}\bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg)^{a_n}}\Bigg) \end{gather*} Przekształcamy to wyrażenie: \begin{gather*}\color{Cyan} \lim_{{n} \to {\infty}} \ln\Bigg(\bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg)^{a_n}\Bigg) \;=\; \lim_{{n} \to {\infty}} a_n\ln\bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg) \;=\; \lim_{{n} \to {\infty}} \frac{\ln\bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg)}{\frac{k}{a_n}}\cdot k \end{gather*} Wiemy, że $\color{#aa00ff} a_n \to \pm \infty\;$, więc $\color{#aa00ff} \;\frac{k}{a_n} \to 0\;$. Podstawiając $\color{#aa00ff} t_n=\frac{k}{a_n}$ możemy napisać: \begin{gather*}\color{#aa00ff} t_n \to 0 \\\\\color{Cyan} \lim_{{n} \to {\infty}} \frac{\ln\bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg)}{\frac{k}{a_n}}\cdot k \;=\;\color{#aa00ff} \lim_{{n} \to {\infty}} \frac{\ln(1 + t_n)}{t_n} \cdot k \end{gather*} To nam pozwala przejść na granice funkcji: \begin{gather*}\color{#aa00ff} \lim_{{t} \to {0}} \frac{\ln(1 + t)}{t} \cdot k \;=\; k \cdot \lim_{{t} \to {0}} \frac{\ln(1 + t)}{t} \;=\; k\cdot\left[\frac{0}{0}\right] \;\overset{H}{=}\; k \cdot \lim_{{t} \to {0}} \frac{\frac{1}{1+t}}{1} \;=\; \color{Cyan}k \end{gather*} Uwaga: $\;\small \overset{H}{=}\normalsize$ oznacza zastosowanie regułu de l'Hospitala — policzenie pochodnej licznika i mianownika.
Więc: \begin{gather*}\color{Cyan} \lim_{{n} \to {\infty}} \ln\Bigg(\bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg)^{a_n}\Bigg) = k \end{gather*} Skoro granica z logarytmu naturalnego wynosi $k$, to granica z wyrażenia pod logarytmem musi dążyć do $e^k$: \begin{gather*}\color{#ff6600} \lim_{{n} \to {\infty}} \bigg( 1 + \frac{k}{a_n} \bigg)^{a_n}=\; e^k\\\\ \blacksquare \end{gather*}