Określ dziedzinę funkcji (w zbiorze liczb rzeczywistych)

Rozwiązanie Cóż... jeśli kiedykolwiek zastanawiałeś/aś się, jak wygląda matematyczna forma egzystencjalnego kryzysu, to właśnie na to patrzysz. Ale spokojnie — postaram się wyjaśnić ten przykład tak, żeby ograniczyć ból matematycznego wypalenia do minimum.

Na początek zastanówmy się, jakie ograniczenia nakłada na nas logarytm (ten zewnętrzny). Bez dwóch zdań — zarówno podstawa, jak i liczba logarytmowana muszą być większe od zera. Dlaczego? Wyjaśnię to na końcu :)
Ponad to, podstawa logarytmu nie może być równa 1. Dlaczego? ... chyba już wiesz gdzie szukać odpowiedzi.
Nasze warunki wyglądają więc następująco: \begin{gather*}\color{#ff6600} \frac{\sqrt{2}x-7}{18-x} \;\;>\;\; 0 \\\\\color{#5500ff} \log_{\frac{1}{3}}x +2 \;\;>\;\; 0 \\\\\color{#00b58e} \log_{\frac{1}{3}}x +2 \;\;\neq\;\; 1 \end{gather*} Zacznijmy od rozwiązania pierwszej nierówności. Zauważmy, że sprowadza się to jedynie do określenia znaku — szukamy takich argumentów $x$, dla których całe wyrażenie jest dodatnie. Nie ma więc znaczenia, czy dzielimy, czy mnożymy, ponieważ zasady określania znaku przy mnożeniu i dzieleniu są identyczne: jeśli jeden z czynników jest ujemny — całość jest ujemna, a jeśli oba są dodatnie lub oba ujemne — wyrażenie jest dodatnie. Innymi słowy, możemy spokojnie zamienić dzielenie na mnożenie: \begin{gather*}\color{#ff6600} \frac{\sqrt{2}x-7}{18-x} > 0 \\\\\color{#ff6600} \Big(\sqrt{2}x-7\Big)\Big(18-x\Big) > 0 \end{gather*} „No fajnie, wielkie mi uproszczenie” — powiesz.
Wiem, wygląda to jak zamiana grypy na zapalenie płuc, ale spokojnie — to naprawdę działa na naszą korzyść.
Otóż właśnie dzięki temu zabiegowi możemy sporządzić poglądowy rysunek tej funkcji, który pozwoli łatwo zauważyć, dla jakich argumentów wyrażenie jest dodatnie, a dla jakich ujemne.
Widzimy, że mamy do czynienia z funkcją kwadratową, więc wystarczy wyznaczyć jej miejsca zerowe: \begin{gather*}\color{#ff6600} \Big(\sqrt{2}x-7\Big)\Big(18-x\Big) = 0 \\\\\color{#ff6600} \sqrt{2}x-7 = 0 \quad \lor \quad 18-x = 0 \\\\\color{#ff6600} x = \frac{7}{\sqrt{2}} \quad \lor \quad x = 18 \end{gather*} Wiemy też, że ramiona paraboli są skierowane w górę (bo w drugim nawiasie mamy znak „–” przy $x$), więc rysujemy:

Interesuje nas przedział zaznaczony na powyższym rysunku na niebiesko — tylko tam bowiem funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
Wynikiem naszego pierwszego warunku jest więc przedział: \begin{gather*}\color{#ff6600} \left(\frac{7}{\sqrt{2}}, 18\right) \end{gather*}

---

Przejdźmy do drugiego warunku: \begin{gather*}\color{#5500ff} \log_{\frac{1}{3}}x +2 \;\;>\;\; 0 \\\\\color{#5500ff} \log_{\frac{1}{3}}x \;\;>\;\; -2 \end{gather*} I co teraz? Istnieje sprytny sposób na rozwiązywanie tego typu równań/nierówności — przedstawienie liczby po prawej jako logarytmu: \begin{gather*}\color{#5500ff} \log_{\frac{1}{3}}x \;\;>\;\; \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\\\\\color{#5500ff} \log_{\frac{1}{3}}x \;\;>\;\; \log_{\frac{1}{3}} 9 \end{gather*} Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa, więc $\color{#5500ff}\log_{\frac{1}{3}}x = \log_{\frac{1}{3}} 9$ wtedy i tylko wtedy gdy $\color{#5500ff}x=9$. Z nierównością musimy jednak uważać, bo podstawa $\color{#5500ff}\frac{1}{3}$ jest mniejsza od 1, co oznacza, że funkcja logarytmiczna jest malejąca. W związku z tym, opuszczając logarytmy, musimy zmienić znak nierówności: \begin{gather*}\color{#5500ff} \log_{\frac{1}{3}}x \;{\color{Red}>}\; \log_{\frac{1}{3}}9\\\\\color{#5500ff} x \;{\color{Red}<}\; 9 \end{gather*} Możemy podejść do tego także w nieco inny sposób — wykorzystując własności logarytmów: \begin{align*}\color{#5500ff} \log_{\frac{1}{3}}x \;\;&\color{#5500ff}>\;\; \log_{\frac{1}{3}}9 \\\\\color{#5500ff} \log_{3^{-1}}x \;\;&\color{#5500ff}>\;\; \log_{3^{-1}}9 \\\\\color{#5500ff} \qquad \qquad \qquad -\log_{3}x \;\;&{\color{Red}>}\;\;\color{#5500ff} -\log_{3}9 \qquad \color{#999999}/ \cdot(-1)\\\\\color{#5500ff} \log_{3}x \;\;&{\color{Red}<}\;\;\color{#5500ff} \log_{3}9\\\\\color{#5500ff} x \;\;&\color{#5500ff}<\;\; 9 \end{align*} Zatem wynikiem naszego drugiego warunku jest przedział (pamiętając, że ten logarytm także nakłada ograniczenie — $x$ musi być większe od 0): \begin{gather*}\color{#5500ff} \left(0, 9 \right) \end{gather*}

---

Czas na ostatni warunek: \begin{align*}\color{#00b58e} \log_{\frac{1}{3}}x +2 \;\;&\color{#00b58e}\neq\;\; 1 \\\\\color{#00b58e} \log_{\frac{1}{3}}x \;\;&\color{#00b58e}\neq\;\; -1 \\\\\color{#00b58e} \log_{\frac{1}{3}}x \;\;&\color{#00b58e}\neq\;\; \log_{\frac{1}{3}}\left( \frac{1}{3} \right)^{-1} \\\\\color{#00b58e} \log_{\frac{1}{3}}x \;\;&\color{#00b58e}\neq\;\; \log_{\frac{1}{3}} 3 \\\\\color{#00b58e} x \;\;&\color{#00b58e}\neq\;\; 3 \end{align*}

---

Pozostało już tylko złączyć wszystkie warunki w jeden przedział: \begin{gather*}\color{Cyan} \left(\frac{7}{\sqrt{2}}, 18\right) \;\;\cap\;\; \left(0, 9 \right) \;\;\cap\;\; x \neq 3 = \color{#00dd66}\left(\frac{7}{\sqrt{2}}, 9\right) \end{gather*} A tak wygląda nasza funkcja:

---

Wyjaśnienie dziedziny logarytmów Spójrz na poniższy logarytm: \begin{gather*}\color{Cyan} \log_{2}(-8) \end{gather*} $2$ podniesione do jakiej potęgi da w wyniku $-8$? Cóż, odpowiedź na to pytanie istnieje i wygląda następująco: \begin{gather*}\color{Cyan} 2^{ 3+\frac{(2k+1)\pi}{\ln(2)}i } = -8 \end{gather*} Jest to jednak liczba zespolona, a my w naszym zadaniu ograniczamy się jedynie do liczb rzeczywistych. W interesującym nas zbiorze nie istnieje liczba $x$ taka, że jakakolwiek dodatnia liczba podniesiona do potęgi $x$ da w wyniku liczbę ujemną.

Podobnie w drugą stronę: \begin{gather*}\color{Cyan} \log_{-2}(8) \end{gather*} $-2$ podniesione do jakiej potęgi da w wyniku $8$?
Pewnie nie zaskoczę cię, mówiąc, że rozwiązanie istnieje — ale jedynie w zbiorze liczb zespolonych. W zbiorze liczb rzeczywistych takiego rozwiązania nie znajdziemy.

A co w takim razie z takim przypadkiem?: \begin{gather*}\color{Cyan} \log_{-2}(-8) \end{gather*} Odpowiedź wydaje się trywialna: $3$.
Rzeczywiście, $\color{Cyan}(-2)^3 = -8$, lecz... nie jest to prawidłowe rozwiązanie. Dlaczego? To już bardziej złożony temat, którego nie sposób wyjaśnić bez zagłębiania się w liczby zespolone. W rzeczywistości, logarytm jest funkcją wielowartościową, a jego definicja dla liczb ujemnych wymaga użycia tzw. gałęzi głównej logarytmu zespolonego. Dla liczb rzeczywistych taka definicja po prostu nie istnieje — choć pewne przypadki, jak ten, mogą sprawiać wrażenie, że wynik powinien być rzeczywisty.

Trzeba jednak pamiętać, że to wyjątkowy przypadek. Spróbujmy z innym: \begin{gather*}\color{Cyan} \log_{-2}(-4) \end{gather*} Tu już nie ma żadnych wątpliwości — liczby rzeczywiste nie wystarczą, by to rozwiązać.

Krótko mówiąc: logarytmy z liczb ujemnych mogą czasem dawać pozornie sensowne odpowiedzi, ale formalnie nigdy nie należą do zbioru liczb rzeczywistych (poza sytuacją, gdzie liczba logarytmowana jest jedynką). Dlatego też w szkolnej analizie całkowicie je pomijamy i ograniczamy dziedzinę logarytmu do liczb dodatnich.

W analogiczny sposób odrzucamy przypadki, w których podstawa lub liczba logarytmowana jest równa $0$. Pozostała jeszcze kwestia jedynki w podstawie logarytmu. Tutaj sprawa jest prosta — definiowanie takiego logarytmu nie ma sensu, ponieważ $1$ podniesione do dowolnej potęgi rzeczywistej zawsze daje $1$. Dlatego też wyrażenie: \begin{gather*}\color{Cyan} \log_{1}(4) \end{gather*} nie ma sensu matematycznego.