Oblicz wartość logarytmu

Przede wszystkim należy zauważyć, że wynik tego logarytmu nie należy do zbioru liczb rzeczywistych. Nie istnieje bowiem liczba rzeczywista, która w wykładniku dwójki dałaby nam jakąkolwiek liczbę ujemną.

Szukamy zatem rozwiązania w zbiorze liczb zespolonych. Na początek proponuję jednak zamienić podstawę logarytmu na liczbę Eulera i dokonać kilku przekształceń: \begin{gather*}\color{Cyan} \log_{2}(-8) = \frac{\ln(-8)}{\ln(2)} = \frac{\ln(-1 \cdot 8)}{\ln(2)} = \frac{\ln(8)+\ln(-1)}{\ln(2)} \end{gather*} Nasze zadanie sprowadza się więc do obliczenia logarytmu naturalnego z $\color{Cyan}-1$. To już duże uproszczenie!

Ułóżmy równanie korzystając bezpośrednio z definicji logarytmu: \begin{gather*}\color{Cyan} e^x = -1 \end{gather*} Wiemy już, że $\color{Cyan}x$ jest liczbą zespoloną, więc zapiszmy to w nieco innej formie: \begin{gather*}\color{Cyan} e^{i\theta} = -1 \end{gather*} Otrzymujemy formę wykładniczą liczby zespolonej (o module równym $1$). Jeśli kojarzysz tę tożsamość: \begin{gather*}\color{Cyan} e^{i\pi} +1 = 0 \end{gather*} (tożsamość Eulera — nazywaną najpiękniejszym wzorem w matematyce), to w zasadzie mógłby to być koniec naszej przygody. Spróbujmy jednak zobrazować to geometrycznie.

Jak wiemy, każdą liczbę zespoloną możemy przedstawić jako punkt na płaszczyźnie zespolonej. Istnieją trzy równoważne sposoby zapisu takiej liczby: \begin{align*}\color{#aa00ee} z \;&\color{#aa00ee}= a + bi &&\text{(postać algebraiczna)}\\\\\color{#4422ee} z \;&\color{#4422ee}= |z|\big(\cos(\theta) + i\sin(\theta)\big) &&\text{(postać trygonometryczna)}\\\\\color{Cyan} z \;&\color{Cyan}= |z|e^{i\theta} &&\text{(postać wykładnicza)} \end{align*} W każdym z tych zapisów $\color{Cyan}\theta$ oznacza kąt pomiędzy dodatnim kierunkiem osi rzeczywistej a promieniem poprowadzonym z początku układu współrzędnych do punktu reprezentującego liczbę $\color{#aa00ee}z$.

W naszym przypadku chcemy znaleźć kąt $\color{Cyan}\theta$, który spełnia równanie: \begin{gather*}\color{Cyan} e^{i\theta} = -1 \end{gather*} Zapiszmy to równanie w sposób, który ułatwi nam interpretację geometryczną: \begin{gather*}\color{Cyan} 1 \cdot e^{i\theta} = \color{#aa00ee}-1 + 0i \end{gather*} Po lewej stronie mamy formę wykładniczą, a po prawej — algebraiczną, która jednoznacznie definiuje punkt $\color{#aa00ee}(-1, 0)$ na płaszczyźnie zespolonej.
Teraz wystarczy spojrzeć na wykres:

Narysowany kąt jest oczywiście równy $\color{Cyan}\pi$. Co więcej, widzimy, że nie jest to jedyny kąt — jest ich nieskończenie wiele, ponieważ gdy do $\color{Cyan}\pi$ dodamy $\color{Cyan}2\pi$, otrzymamy dokładnie ten sam punkt. Rozwiązaniem naszego równania jest więc: \begin{gather*}\color{Cyan} e^{i\theta} = -1 \\\\\color{Cyan} \theta = \pi + 2k\pi \qquad k\in \mathbb{Z}\\\\ \textrm{więc:} \\\\\color{Cyan} e^{(1+2k)i\pi} = -1 \end{gather*} Wracając do naszych logarytmów, otrzymujemy: \begin{gather*}\color{Cyan} \frac{\ln(8)+\ln(-1)}{\ln(2)} = \frac{\ln(8)+(1+2k)i\pi}{\ln(2)} \end{gather*} Moglibyśmy na tym zakończyć, lecz możemy to wyrażenie uprościć jeszcze bardziej: \begin{gather*}\color{Cyan} \frac{\ln(8)+(1+2k)i\pi}{\ln(2)} = \frac{\ln(2^3)+(1+2k)i\pi}{\ln(2)} = \frac{3\ln(2)+(1+2k)i\pi}{\ln(2)} = \color{#00dd66} 3 + \frac{(1+2k)\pi}{\ln(2)}i \end{gather*}