Zapisz do kolekcji
Zaloguj się, aby dodać zadanie do kolekcji.
Zgłoś zadanie
Dziękuję za przesłanie zgłoszenia!
Twoje zaangażowanie pomaga mi rozwijać tę stronę i tworzyć miejsce z jeszcze lepszymi materiałami.
Data publikacji: 2025-11-24 00:11:00
Sprawdź czy funkcja $\color{Cyan} f(x)$ jest ciągła w punkcie $\color{Cyan}x_0 = 1$
$$
\color{Cyan} f(x) =
\begin{cases}
{ \frac{x^{2}-1}{x-1}} & \text{dla} & {x < 1} \\
{\small 1} & \text{dla} & {x = 1}\\
{\small 10x-8} & \text{dla} & {x \gt 1}
\end{cases}
$$
Na początek przypomnijmy sobie, czym w ogóle jest ciągłość funkcji w danym punkcie. Najprościej mówiąc: funkcja jest ciągła, gdy jej granice (lewostronna i prawostronna) spotykają się w tym samym miejscu, w którym znajduje się wartość funkcji.
Mówiąc bardziej obrazowo — wykres takiej funkcji możemy narysować bez odrywania długopisu od kartki. Nie ma tam żadnych „przeskoków”, „urwisk” ani „dziur”.
„Super, ale po co mi to sprawdzać?” — zapytasz. No i ja ci odpowiem, że... w sumie to po nic... chyba, że zamierzasz kiedyś projektować mosty albo kolejki górskie. Wtedy ciągłość jest dosyć istotna. Wyobraź sobie rollercoaster, w którym tor kończy się na wysokości 20 metrów, a dalsza część trasy zaczyna się nagle na ziemi (tzw. nieciągłość skokowa). Na wykresie to tylko dwie niepołączone ze sobą linie, a w rzeczywistości... głośny huk i pozew sądowy...Rozwiązanie
Badanie ciągłości najlepiej zacząć od najprostszego pytania: czy funkcja w ogóle istnieje w tym punkcie? Patrząc na jej środkowy wzór od razu widzimy, że tak — $\color{Cyan} f(1) = \color{#ff6600} 1$, więc wartość istnieje.
Teraz musimy sprawdzić, czy granice (lewa i prawa) prowadzą w to samo miejsce. Innymi słowy czy granica prawostronna i lewostronna w punkcie $\color{Cyan}x_0 = 1$ jest równa $\color{#ff6600}1$. Zacznijmy od lewostronnej: \begin{gather*}\color{Cyan} \lim_{{x} \to {1^-}} f(x) \;=\; \lim_{{x} \to {1^-}} \frac{x^{2}-1}{x-1} = \left[ \frac{0}{0} \right] \\\\ \textrm{otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone, więc dokonujemy przekształceń:} \\\\\color{Cyan} \lim_{{x} \to {1^-}} \frac{x^{2}-1}{x-1} \;=\; \lim_{{x} \to {1^-}} \frac{{\color{Red}\cancel{\color{Cyan}(x-1)}}(x+1)}{{\color{Red}\cancel{\color{Cyan}x-1}}} \;=\; \lim_{{x} \to {1^-}} (x+1) \;=\; \color{#ff6600}2 \end{gather*} $\color{#ff6600}1 \neq 2 $, więc właściwie możemy na tym zakończyć. Funkcja $\color{Cyan} f(x)$ jest nieciągła w punkcie $\color{Cyan} x_0 = 1$.
A tak wygląda wykres naszej funkcji wraz ze wzorem:
\begin{gather*} \color{Cyan} f(x) = \begin{cases}\color{#00ccff} \frac{x^{2}-1}{x-1} & \color{#00ccff}\text{dla} & \color{#00ccff}{x < 1} \\\color{#ee00ff} \small 1 & \color{#ee00ff}\text{dla} & \color{#ee00ff}{x = 1}\\\color{#5500ff} \small 10x-8 & \color{#5500ff}\text{dla} & \color{#5500ff}{x \gt 1} \end{cases} \end{gather*}
Mówiąc bardziej obrazowo — wykres takiej funkcji możemy narysować bez odrywania długopisu od kartki. Nie ma tam żadnych „przeskoków”, „urwisk” ani „dziur”.
„Super, ale po co mi to sprawdzać?” — zapytasz. No i ja ci odpowiem, że... w sumie to po nic... chyba, że zamierzasz kiedyś projektować mosty albo kolejki górskie. Wtedy ciągłość jest dosyć istotna. Wyobraź sobie rollercoaster, w którym tor kończy się na wysokości 20 metrów, a dalsza część trasy zaczyna się nagle na ziemi (tzw. nieciągłość skokowa). Na wykresie to tylko dwie niepołączone ze sobą linie, a w rzeczywistości... głośny huk i pozew sądowy...
Teraz musimy sprawdzić, czy granice (lewa i prawa) prowadzą w to samo miejsce. Innymi słowy czy granica prawostronna i lewostronna w punkcie $\color{Cyan}x_0 = 1$ jest równa $\color{#ff6600}1$. Zacznijmy od lewostronnej: \begin{gather*}\color{Cyan} \lim_{{x} \to {1^-}} f(x) \;=\; \lim_{{x} \to {1^-}} \frac{x^{2}-1}{x-1} = \left[ \frac{0}{0} \right] \\\\ \textrm{otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone, więc dokonujemy przekształceń:} \\\\\color{Cyan} \lim_{{x} \to {1^-}} \frac{x^{2}-1}{x-1} \;=\; \lim_{{x} \to {1^-}} \frac{{\color{Red}\cancel{\color{Cyan}(x-1)}}(x+1)}{{\color{Red}\cancel{\color{Cyan}x-1}}} \;=\; \lim_{{x} \to {1^-}} (x+1) \;=\; \color{#ff6600}2 \end{gather*} $\color{#ff6600}1 \neq 2 $, więc właściwie możemy na tym zakończyć. Funkcja $\color{Cyan} f(x)$ jest nieciągła w punkcie $\color{Cyan} x_0 = 1$.
A tak wygląda wykres naszej funkcji wraz ze wzorem:
\begin{gather*} \color{Cyan} f(x) = \begin{cases}\color{#00ccff} \frac{x^{2}-1}{x-1} & \color{#00ccff}\text{dla} & \color{#00ccff}{x < 1} \\\color{#ee00ff} \small 1 & \color{#ee00ff}\text{dla} & \color{#ee00ff}{x = 1}\\\color{#5500ff} \small 10x-8 & \color{#5500ff}\text{dla} & \color{#5500ff}{x \gt 1} \end{cases} \end{gather*}
Przytrzymaj Shift, aby przesuwać, oddalać i przybliżać widok
Funkcja $\color{Cyan} f(x)$ jest nieciągła w punkcie $\color{Cyan} x_0 = 1$.