Oblicz pochodną funkcji złożonej

Aby zróżniczkować żądaną funkcję, skorzystamy ze wzoru na pochodną funkcji złożonej: $$ \color{#ff6600} \bigg[ f\Big({\color{Cyan} g(x)}\Big) \bigg]' = \color{#ff6600} f'\Big( {\color{Cyan} g(x)}\Big) \,\cdot\, {\color{Cyan} g'(x)} $$

---

Krótkie wyjaśnienie wzoru Nie będę na tym etapie tłumaczyć skąd się wziął, lecz jeśli jesteś ciekawy/a to zachęcam do zapoznania się z filmem na Khan Academy.
Jeśli nigdy wcześniej nie miałeś/aś do czynienia z pochodnymi, zapis $\color{#ff6600}f'( {\color{Cyan} g(x)})$ może wydawać się enigmatyczny. Aby go wyjaśnić, posłóżmy się przykładem: \begin{gather*}\color{#ff6600} f(x) = x^2 \end{gather*} Nie zawracajmy sobie na razie głowy $\color{Cyan} g(x)$. Zamiast tego policzmy pochodną powyższej funkcji: \begin{gather*}\color{#ff6600} f'(x) = 2x \end{gather*} W wyniku uzyskaliśmy nową funkcję. To oznacza, że możemy dokonywać na niej wszystkich operacji charakterystycznych dla funkcji. Między innymi możemy zobaczyć jaką wartość funkcja przyjmuje dla różnych argumentów $x$: \begin{align*}\color{#ffaa00} x = 2&\color{#ff6600}: \quad f'(2) = 2\cdot 2 = 4 \\\\\color{#ffaa00} x = \pi&\color{#ff6600}: \quad f'(\pi) = 2\cdot \pi = 2\pi \\\\\color{#ffaa00} x = a&\color{#ff6600}: \quad f'(a) = 2\cdot a = 2a \\\\\color{#ffaa00} x = {\color{Cyan} g(x)}&\color{#ff6600}: \quad f'({\color{Cyan}g(x)}) = 2\cdot {\color{Cyan} g(x)} = 2\,{\color{Cyan} g(x)} \end{align*} Zauważ, że nie ma znaczenia, co podstawimy — może to być konkretna liczba, stała, a nawet inna funkcja. W każdym z tych przypadków po prostu zamieniamy literkę $x$ na odpowiednie wyrażenie.
A jak dla przykładu będzie wyglądać $\color{#ff6600}f'({\color{Cyan} g(x)})$, gdy przyjmiemy $\color{Cyan} g(x) = x^7 + 1$? W ten sposób: \begin{align*}\color{#ff6600} f'({\color{Cyan} g(x)}) = f'({\color{Cyan}x^7 + 1}) = 2\cdot {\color{Cyan}(x^7 + 1)} = 2x^7 + 2 \end{align*}

---

Rozwiązanie Na początku ustalmy wzory funkcji zewnętrznej i wewnętrznej: $$\color{#ff6600} \ln({\color{Cyan}7x^2+2}) $$ \begin{align*}\color{#ff6600} f(x) &\color{#ff6600}= \ln(x)\\\color{Cyan} g(x) &\color{Cyan}= 7x^2 + 2 \end{align*} Różniczkujemy, korzystając ze wzorów na pochodne: \begin{align*}\color{#ff6600} f'(x) &\color{#ff6600}= \frac{1}{x}\\\color{Cyan} g'(x) &\color{Cyan}= 14x \end{align*} Pozostało podstawić: \begin{align*}\color{#ff6600} \color{#ff6600} f'\Big( {\color{Cyan} g(x)}\Big) \,\cdot\, {\color{Cyan} g'(x)} = \frac{1}{\color{Cyan}7x^2 + 2} \cdot {\color{Cyan}14x} = \color{#00dd66} \frac{14x}{7x^2+2} \end{align*}
Fajnie, skończone, ale... co tak naprawdę obliczyliśmy? Matematyka traci na znaczeniu, gdy próbujemy sprowadzać ją jedynie do gotowych wzorów i utartych reguł. Jeśli więc dopiero zaczynasz przygodę z pochodnymi, zachęcam do zapoznania się z zadaniem, w którym dokładnie tłumaczę czym jest różniczkowanie.