Oblicz całkę nieoznaczoną

To jeden z tych klasycznych przykładów, gdzie aż prosi się o podstawianie. No dobra, ja to wiem, ale skąd Ty masz to wiedzieć? Czy istnieje na to jakiś sekretny kod?

Nie. To jest to, co nauczyciele dumnie określają mianem „intuicji matematycznej”. W rzeczywistości to jednak bardziej „zrobiłem wcześniej 200 takich przykładów i 190 zepsułem”. Ale dobra wiadomość jest taka, że Ty już nie musisz tego przechodzić, bo właśnie Ci to pokazuję.

Jeśli widać, że całki nie da się rozwiązać korzystając bezpośrednio ze wzoru (jak w naszym przypadku), to w pierwszej kolejności powinniśmy się zastanowić, czy pochodna jednej części funkcji podcałkowej nie jest „podobna” do drugiej części tej funkcji. W naszym przypadku tak właśnie jest — pochodna $\color{Cyan} \sin(x)$ daje $\color{Cyan} \cos(x)$. Co więcej, ten przykład jest na tyle wdzięczny, że działa to w obie strony: jeśli weźmiemy pochodną z $\color{Cyan} \cos(x)$, to otrzymamy $\color{Cyan} -\sin(x)$ (znak się nie zgadza, ale „podobieństwo” nadal jest wystarczające).

---

Rozwiązanie \begin{gather*}\color{Cyan} \int {\color{#5500ff} \sin(x)} {\color{#ff6600}\cos(x)\dx} = \begin{vmatrix} {\color{#5500ff} t = \sin(x)\;\;\;\;\;\,} & {\quad \color{#999}\substack{\textit{podstawiamy}}} \\ {\color{#ff6600}\dt = \cos(x)\dx} & {\quad \color{#999}\substack{\textit{liczymy pochodną obustronnie}}} \end{vmatrix} = \\\\\color{Cyan} = \int {\color{#5500ff} t} {\color{#ff6600}\dt} \;=\; \frac{1}{2}t^2 + C \;=\; \color{#00dd66} \frac{1}{2}\sin^2(x) + C \end{gather*}

---

Specyfika tego przypadku Tak jak zauważyliśmy na początku, można podstawić zmienną $\color{Cyan}t$ także za $\color{Cyan} \cos(x)$: \begin{gather*}\color{Cyan} \int {\color{#ff6600} \sin(x)} {\color{#5500ff}\cos(x)}{\color{#ff6600}\dx} = \begin{vmatrix} {\color{#5500ff} t = \cos(x)\;\;\;\;\;\;\;\;} & {\quad \color{#999}\substack{\textit{podstawiamy}}} \\ {\dt = -\sin(x)\dx} & {\quad \color{#999}\substack{\textit{liczymy pochodną obustronnie}}}\\ {\color{#ff6600}-\dt = \sin(x)\dx} & {\quad \color{#999}\substack{\textit{obliczamy wyrażenie,}\\ \textit{znajdujące się pod całką}}} \end{vmatrix} = \\\\\color{Cyan} = \int {\color{#5500ff} t} {\color{#ff6600}(-\dt)} \;=\; -\int t\dt \;=\; -\frac{1}{2}t^2 + C \;=\; \color{#00dd66} -\frac{1}{2}\cos^2(x) + C \end{gather*} Chwila... ale to w ogóle nie jest to samo. Wynik jest inny. Znak jest inny. Wszystko jest źle. To jest ten moment na egzaminie, w którym oblewa Cię zimny pot, życie przelatuje przed oczami, a Ty zaczynasz realnie rozważać rzucenie studiów i wyjazd do Suchej Psiny, by hodować czerwoną kapustę.
Zanim jednak złożysz wniosek o rezygnację z dalszego kształcenia, pozwól, że wytłumaczę, co się tu zadziało. Nie popełniliśmy błędu. Oba rozwiązania są prawidłowe, gdyż jest to ta sama funkcja, lecz przesunięta o pewną stałą. Pokażę to, korzystając z jedynki trygonometrycznej i przyrównując oba wyniki do siebie: \begin{gather*}\color{Cyan} \frac{1}{2}\sin^2(x) = -\frac{1}{2}\cos^2(x) + C_0 \\\\\color{Cyan} \frac{1}{2}\sin^2(x) + \frac{1}{2}\cos^2(x) = C_0 \\\\\color{Cyan} \sin^2(x) + \cos^2(x) = 2C_0 = 1 \\\\\color{Cyan} C_0 = \frac{1}{2} \end{gather*} W wyniku całki nieoznaczonej zawsze występuje magiczna stała $\color{Cyan}C$, która „połyka” wszelkie przesunięcia liczbowe. Dlatego to, że funkcje różnią się o $\color{Cyan}\frac{1}{2}$, nie ma znaczenia dla poprawności wyniku.
Zobaczmy, jak te funkcje wyglądają na układzie współrzędnych (pomijając stałą $C$): \begin{gather*}\color{#9900ff} \frac{1}{2}\sin^2(x) \\\color{#00aa88} -\frac{1}{2}\cos^2(x) \end{gather*}

Ciekawostka: korzystając ze wzoru na sinus kąta podwojonego (czyli $\sin(2x)$), możemy otrzymać jeszcze inny wynik. Będzie się on znajdować na wykresie dokładnie pomiędzy dwoma poprzednimi. Ten przykład jednak pozostawiam do sprawdzenia przez Ciebie osobiście :) Wyjaśnienie podstawiania Przypomnijmy sobie wzór na pochodną funkcji złożonej: \begin{gather*}\color{#ff6600} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \end{gather*} Jak wiemy, całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania.
Całkowanie przez podstawianie to nic innego jak wykorzystanie tego wzoru, ale "w drugą stronę".
Sposób ten polega na przedstawieniu funkcji podcałkowej, która nierzadko wygląda dość chaotycznie, w postaci $\color{#ff6600}f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Robimy to, wprowadzając dodatkową zmienną $\color{#ff6600} t=g(x)$. Ma ona na celu uproszczenie całego zapisu. Następnie wykonujemy następujące operacje: \begin{gather*}\color{#ff6600} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} [t] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} [g(x)] \\\\\color{#ff6600} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d} x} = g'(x) \\\\\color{#ff6600} \mathrm{d}t = g'(x)\mathrm{d}x \end{gather*} Ostatnią operację możemy traktować jako "mnożenie" przez $\color{#ff6600}\mathrm{d}x$. Mimo że $\color{#ff6600}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$ formalnie nie jest ułamkiem, możemy czasami go w taki sposób traktować. Ułatwia to zapamiętanie koncepcji całki i dokonywanie obliczeń. Jeśli notacja $\color{#ff6600}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}$ nie jest ci jeszcze dobrze znana lub nie wiesz z czego wynika, zachęcam do przeanalizowania zadania dotyczącego definicji pochodnej