Zapisz do kolekcji
Zaloguj się, aby dodać zadanie do kolekcji.
Zgłoś zadanie
Dziękuję za przesłanie zgłoszenia!
Twoje zaangażowanie pomaga mi rozwijać tę stronę i tworzyć miejsce z jeszcze lepszymi materiałami.
Data publikacji: 2025-12-19 16:08:00
Oblicz całkę nieoznaczoną
$$\color{Cyan}
\newcommand{\dx}[0]{ \,\textrm{d}x }
\newcommand{\dt}[0]{ \,\textrm{d}t }
\int x \ln(x) \dx
$$
Rozwiążemy to zadanie korzystając z metody całkowania przez części. Jeśli na samą myśl o tej metodzie doznajesz zawrotów głowy, a cały świat nagle zaczyna wirować niczym wnętrze pralki, przypominając spiralę matematycznego cierpienia, to... wiedz, że nie jesteś z tym sam/a! (Ja też muszę brać na to aviomarin).
A tak właściwie, to... dlaczego akurat przez części? Zazwyczaj sięgamy po tę broń, gdy funkcja podcałkowa zawiera mnożenie funkcji z „dwóch różnych światów” (np. wielomianu i logarytmu), a proste podstawianie nie działa. Tutaj takie mnożenie właśnie występuje: $\color{#ff6600}x \color{Cyan} \cdot \color{#5500ff}\ln(x)$.
Warto jednak pamiętać, że sposób ten sprawdza się zazwyczaj wtedy, gdy funkcja nie jest „zbyt skomplikowana”. Jeśli widzisz zagnieżdżone pierwiastki albo piętrowe ułamki, to całkowanie przez części prawdopodobnie wyprowadzi Cię w pole (i zostawi tam bez kompasu).
Rozwiązanie
Wzór wygląda następująco:
\begin{gather*}\color{Cyan}
\int {\color{#5500ff}f(x)}{\color{#ff6600}g'(x)}\dx \;=\; {\color{#5500ff}f(x)}{\color{#ff6600}g(x)} - \int {\color{#5500ff}f'(x)}{\color{#ff6600}g(x)}\dx
\end{gather*}
Jak widzisz, aby ten wzór zastosować, nasza funkcja podcałkowa musi mieć formę: ${\color{#5500ff}f(x)}{\color{#ff6600}g'(x)}$. Innymi słowy, jedną z funkcji ($\color{#ff6600}x$ lub $\color{#5500ff}\ln(x)$) musimy zapisać jako pochodną innej funkcji (czyli musimy ją w głowie scałkować).
Pytanie tylko: którą? Tutaj obowiązuje zasada mniejszego zła. Logarytm ($\ln(x)$) bardzo nie lubi być całkowany (wynik jest brzydki), za to świetnie się różniczkuje (daje proste $\frac{1}{x}$). Dlatego „poświęcimy” $x$'a. W naszym przypadku zamienimy: $\color{#ff6600}x \longrightarrow \left(\frac{1}{2}x^2\right)'$: \begin{gather*}\color{Cyan} \int \color{#ff6600}x \color{#5500ff}\ln(x) \color{Cyan} \dx \;=\; \int \color{#ff6600}\left(\frac{1}{2}x^2\right)' \color{#5500ff}\ln(x) \color{Cyan} \dx \end{gather*} Dla pewności oblicz pochodną w całce po prawej i przekonaj się, czy na pewno wrócisz do punktu wyjścia. To, co tak naprawdę zrobiłem, to obliczyłem na boku całkę $\color{#ff6600}\int x\dx = \frac{1}{2}x^2$ — stąd wiem, że $\color{#ff6600}\left(\frac{1}{2}x^2\right)' = x$.
W końcu możemy zastosować powyższy wzór: \begin{gather*}\color{Cyan} \int \color{#ff6600}\left(\frac{1}{2}x^2\right)' \color{#5500ff}\ln(x) \color{Cyan} \dx \;=\; {\color{#ff6600}\frac{1}{2}x^2} {\color{#5500ff}\ln(x)} - \int {\color{#ff6600}\frac{1}{2}x^2} \color{#5500ff}\left(\ln(x)\right)' \color{Cyan} \dx \;=\\\\\color{Cyan} =\; \frac{x^2\ln(x)}{2} - \frac{1}{2}\int {\color{#ff6600}x^2} \cdot \color{#5500ff}\frac{1}{x} \color{Cyan} \dx \;=\; \frac{x^2\ln(x)}{2} - \frac{1}{2}\int x\dx \;=\\\\\color{#00dd66} =\; \frac{x^2\ln(x)}{2} - \frac{x^2}{4} + C \end{gather*}
A tak właściwie, to... dlaczego akurat przez części? Zazwyczaj sięgamy po tę broń, gdy funkcja podcałkowa zawiera mnożenie funkcji z „dwóch różnych światów” (np. wielomianu i logarytmu), a proste podstawianie nie działa. Tutaj takie mnożenie właśnie występuje: $\color{#ff6600}x \color{Cyan} \cdot \color{#5500ff}\ln(x)$.
Warto jednak pamiętać, że sposób ten sprawdza się zazwyczaj wtedy, gdy funkcja nie jest „zbyt skomplikowana”. Jeśli widzisz zagnieżdżone pierwiastki albo piętrowe ułamki, to całkowanie przez części prawdopodobnie wyprowadzi Cię w pole (i zostawi tam bez kompasu).
Pytanie tylko: którą? Tutaj obowiązuje zasada mniejszego zła. Logarytm ($\ln(x)$) bardzo nie lubi być całkowany (wynik jest brzydki), za to świetnie się różniczkuje (daje proste $\frac{1}{x}$). Dlatego „poświęcimy” $x$'a. W naszym przypadku zamienimy: $\color{#ff6600}x \longrightarrow \left(\frac{1}{2}x^2\right)'$: \begin{gather*}\color{Cyan} \int \color{#ff6600}x \color{#5500ff}\ln(x) \color{Cyan} \dx \;=\; \int \color{#ff6600}\left(\frac{1}{2}x^2\right)' \color{#5500ff}\ln(x) \color{Cyan} \dx \end{gather*} Dla pewności oblicz pochodną w całce po prawej i przekonaj się, czy na pewno wrócisz do punktu wyjścia. To, co tak naprawdę zrobiłem, to obliczyłem na boku całkę $\color{#ff6600}\int x\dx = \frac{1}{2}x^2$ — stąd wiem, że $\color{#ff6600}\left(\frac{1}{2}x^2\right)' = x$.
W końcu możemy zastosować powyższy wzór: \begin{gather*}\color{Cyan} \int \color{#ff6600}\left(\frac{1}{2}x^2\right)' \color{#5500ff}\ln(x) \color{Cyan} \dx \;=\; {\color{#ff6600}\frac{1}{2}x^2} {\color{#5500ff}\ln(x)} - \int {\color{#ff6600}\frac{1}{2}x^2} \color{#5500ff}\left(\ln(x)\right)' \color{Cyan} \dx \;=\\\\\color{Cyan} =\; \frac{x^2\ln(x)}{2} - \frac{1}{2}\int {\color{#ff6600}x^2} \cdot \color{#5500ff}\frac{1}{x} \color{Cyan} \dx \;=\; \frac{x^2\ln(x)}{2} - \frac{1}{2}\int x\dx \;=\\\\\color{#00dd66} =\; \frac{x^2\ln(x)}{2} - \frac{x^2}{4} + C \end{gather*}
$\displaystyle \color{#00dd66} \frac{x^2\ln(x)}{2} - \frac{x^2}{4} + C $